חומר לימוד · ד״ר איגור קליינר
מקדם המתאם של פירסון:
חישוב ידני
שני תרגילים מלאים עם טבלאות, נוסחה, הצבה, פרשנות ומחשבון קטן לבדיקה עצמית.
1 מה מודד מקדם המתאם?
מקדם המתאם של פירסון מודד את עוצמת הקשר הליניארי בין שני משתנים כמותיים. הוא מסומן בדרך כלל באות r.
r > 0 — קשר חיובי
כאשר X עולה, גם Y נוטה לעלות.
r < 0 — קשר שלילי
כאשר X עולה, Y נוטה לרדת.
r ≈ 0 — קשר חלש
אין קשר ליניארי ברור בין שני המשתנים.
חשוב: מתאם אינו מוכיח סיבתיות. אם שני דברים עולים יחד, זה לא בהכרח אומר שאחד מהם גרם לשני.
Σ הנוסחה
כדי שהנוסחה תיראה נקייה וברורה, היא מוצגת כאן כתמונה מסודרת עם שורש, קו שבר ואינדקסים ברורים של הסכימה. מתחתיה תמצאו הסבר קצר על כל סימן.
- xᵢ הערך ה־i של המשתנה הראשון.
- yᵢ הערך ה־i של המשתנה השני.
- x̄ הממוצע של כל ערכי X.
- ȳ הממוצע של כל ערכי Y.
- Σ סכום: מחברים את הערכים מכל השורות.
- i=1...n אינדקס הסכימה: מתחילים מהשורה הראשונה ומסיימים בשורה האחרונה.
- r התוצאה הסופית: מקדם המתאם.
📈 שעות הכנה וציון במבחן
כאן הנתונים אינם הסדרה הפשוטה 1,2,3,4,5. זה נראה יותר כמו נתונים אמיתיים: סטודנטים למדו מספר שונה של שעות, והציונים עולים בדרך כלל — אבל לא בצורה מושלמת לגמרי.
| סטודנט | שעות הכנה X | ציון Y |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 60 |
| 2 | 4 | 64 |
| 3 | 5 | 70 |
| 4 | 7 | 71 |
| 5 | 10 | 84 |
- מחשבים ממוצעים: x̄ = (2+4+5+7+10)/5 = 28/5 = 5.6, וגם ȳ = (60+64+70+71+84)/5 = 349/5 = 69.8.
- בכל שורה מחשבים סטייה מהממוצע: xᵢ - x̄ ו־yᵢ - ȳ.
- מחשבים מכפלה של הסטיות ושני ריבועים.
| xᵢ | yᵢ | xᵢ - x̄ | yᵢ - ȳ | (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) | (xᵢ - x̄)² | (yᵢ - ȳ)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 60 | -3.6 | -9.8 | 35.28 | 12.96 | 96.04 |
| 4 | 64 | -1.6 | -5.8 | 9.28 | 2.56 | 33.64 |
| 5 | 70 | -0.6 | 0.2 | -0.12 | 0.36 | 0.04 |
| 7 | 71 | 1.4 | 1.2 | 1.68 | 1.96 | 1.44 |
| 10 | 84 | 4.4 | 14.2 | 62.48 | 19.36 | 201.64 |
| סכומים | 108.60 | 37.20 | 332.80 | |||
r = 108.6 / √(37.2 · 332.8) = 108.6 / √12380.16 ≈ 108.6 / 111.266 ≈ 0.976
תוצאה: r ≈ 0.976
זהו קשר ליניארי חיובי חזק מאוד, אך לא מושלם: בדרך כלל יותר שעות הכנה קשורות לציון גבוה יותר, אבל הנתונים אינם יושבים בדיוק על קו ישר.
זהו קשר ליניארי חיובי חזק מאוד, אך לא מושלם: בדרך כלל יותר שעות הכנה קשורות לציון גבוה יותר, אבל הנתונים אינם יושבים בדיוק על קו ישר.
📉 זמן בטלפון ואיכות שינה
גם כאן לא נשתמש ב־1,2,3,4,5. זמן בטלפון יכול להיות חצי שעה, שעה וחצי, שלוש וחצי שעות וכן הלאה.
| יום | זמן בטלפון X | ציון שינה Y |
|---|---|---|
| 1 | 0.5 | 9 |
| 2 | 1.5 | 8 |
| 3 | 2 | 7 |
| 4 | 3.5 | 6 |
| 5 | 5 | 4 |
- מחשבים ממוצעים: x̄ = (0.5+1.5+2+3.5+5)/5 = 12.5/5 = 2.5, וגם ȳ = (9+8+7+6+4)/5 = 34/5 = 6.8.
- שוב מחשבים סטיות מהממוצע, מכפלות וריבועים.
- שמים לב במיוחד לסימנים: כאשר X מעל הממוצע ו־Y מתחת לממוצע, המכפלה שלילית.
| xᵢ | yᵢ | xᵢ - x̄ | yᵢ - ȳ | (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) | (xᵢ - x̄)² | (yᵢ - ȳ)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.5 | 9 | -2 | 2.2 | -4.40 | 4.00 | 4.84 |
| 1.5 | 8 | -1 | 1.2 | -1.20 | 1.00 | 1.44 |
| 2 | 7 | -0.5 | 0.2 | -0.10 | 0.25 | 0.04 |
| 3.5 | 6 | 1 | -0.8 | -0.80 | 1.00 | 0.64 |
| 5 | 4 | 2.5 | -2.8 | -7.00 | 6.25 | 7.84 |
| סכומים | -13.50 | 12.50 | 14.80 | |||
r = -13.5 / √(12.5 · 14.8) = -13.5 / √185 ≈ -13.5 / 13.601 ≈ -0.993
תוצאה: r ≈ -0.993
זהו קשר ליניארי שלילי חזק מאוד: ככל שזמן הטלפון עולה, ציון השינה נוטה לרדת. גם כאן זה לא מוכיח סיבתיות — זו רק מדידה של קשר ליניארי.
זהו קשר ליניארי שלילי חזק מאוד: ככל שזמן הטלפון עולה, ציון השינה נוטה לרדת. גם כאן זה לא מוכיח סיבתיות — זו רק מדידה של קשר ליניארי.
! איפה הכי קל לטעות?
- 1שוכחים להפחית ממוצע.
לא מכפילים את X ו־Y המקוריים. קודם מחשבים xᵢ - x̄ ו־yᵢ - ȳ. - 2מאבדים סימן מינוס.
מינוס כפול פלוס נותן מינוס. מינוס כפול מינוס נותן פלוס. - 3מתבלבלים בריבועים.
בעמודות הריבועים תמיד נקבל מספרים חיוביים או אפס. - 4שוכחים את השורש במכנה.
במכנה מופיע √. בלי השורש התוצאה תהיה שגויה. - 5מקבלים תוצאה מחוץ לטווח.
אם יצא r > 1 או r < -1, יש טעות חישוב. - 6מפרשים מתאם כסיבתיות.
גם מתאם חזק לא מוכיח ש־X גורם ל־Y. - 7מסיקים יותר מדי משתי נקודות.
עם שתי נקודות בלבד המתאם יכול לצאת מושלם, אבל זה לא בסיס טוב למסקנה רצינית.
⌁ מחשבון קטן לבדיקה
הכניסו זוגות ערכים: בכל שורה ערך של X, פסיק, ואז ערך של Y.